Question

20．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，過橢圓上的點A（2，3）作橢圓長軸的垂線，恰好經(jīng)過橢圓的焦點
（1）求橢圓的方程；
（2）問橢圓上是否存在一點P，使得PF₁⊥PF₂？若存在，試求△PF₁F₂的面積，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c值，進一步求得橢圓上點A到右焦點的距離，由勾股定理求得A到左焦點的距離，再由橢圓定義求得a，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）假設橢圓上存在點P（x₀，y₀），使得PF₁⊥PF₂，由向量垂直與數(shù)量積的關系得到P點坐標的一個方程，與橢圓方程聯(lián)立，由方程組無解說明橢圓上不存在一點P，使得PF₁⊥PF₂．

解答 解：（1）由題意可知，c=2，且|AF₂|=3，則$|A{F}_{1}|=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=8，則a=4，
∴b²=a²-c²=12，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）假設橢圓上存在點P（x₀，y₀），使得PF₁⊥PF₂，
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）•（2-{x}_{0}，-{y}_{0}）=0$，
即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得：${{x}_{0}}^{2}=-32$，此方程無解．
∴橢圓上不存在一點P，使得PF₁⊥PF₂．

點評 本題考查了橢圓的定義求標準方程，考查橢圓的性質，考查向量垂直與數(shù)量積的關系，是中檔題．