Question

10．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=3．
（1）求$|{5\vec a-\vec b}|$；
（2）若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，求λ．

Answer 1

分析 （1）利用$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=（5\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，展開后代入數(shù)量積公式求得答案；
（2）由$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，得（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，展開后化為關(guān)于λ的方程求解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=3，
∴$|5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$=$25|\overrightarrow{a}{|}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$
=25×1²-10×1×3×cos120°+3²
=$25-30×（-\frac{1}{2}）+9$=49．
∴$|{5\vec a-\vec b}|$=7；
（2）若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$互相垂直，
則（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即λ$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$+（λ²-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-λ$|\overrightarrow{|}^{2}=0$．
∴λ+（λ²-1）$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos120°$-9λ=0．
∴$λ-\frac{3}{2}（{λ}^{2}-1）-9λ=0$，
整理得：3λ²+16λ-3=0．
解得：λ=$\frac{-8±\sqrt{73}}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$的應用，是中檔題．