Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-bx+3，y=f（x）在x∈（-∞，1]單調(diào)遞增，在x∈[1，+∞）單調(diào)遞減，且有最大值4．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$若g（2+sinθ）≥m²-m對(duì)任意θ∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）在x∈（-∞，1]單調(diào)遞增，在x∈[1，+∞）單調(diào)遞減，且有最大值4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{-b}{2a}=1}\\{a-b+3=4}\end{array}}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$…..（3分），
∴f（x）=-x²+2x+3…..（4分）
（2）由（1）$g（x）=\frac{{-{x^2}+2x+3}}{x}$=$\frac{3}{x}-x+2$，
則g′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1＜0恒成立，
∵θ∈R，
∴-1≤sinθ≤1，1≤2+sinθ≤3…..（5分）
∴g（x）在[1，3]上是單調(diào)減函數(shù)…..（9分），
∴當(dāng)g（2+sinθ）_min=g（3）=0…..（10分）
∴m²-m≤0，
∴0≤m≤1…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法結(jié)合函數(shù)的最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．