Question

5．設函數f（x）=ax²-bx+3，y=f（x）在x∈（-∞，1]單調遞增，在x∈[1，+∞）單調遞減，且有最大值4．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）設$g（x）=\frac{f（x）}{x}$若g（2+sinθ）≥m²-m對任意θ∈R恒成立，則實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據一元二次函數的性質建立不等式關系進行求解即可．
（2）判斷函數g（x）的單調性，利用參數分離法進行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）在x∈（-∞，1]單調遞增，在x∈[1，+∞）單調遞減，且有最大值4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{-b}{2a}=1}\\{a-b+3=4}\end{array}}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$…..（3分），
∴f（x）=-x²+2x+3…..（4分）
（2）由（1）$g（x）=\frac{{-{x^2}+2x+3}}{x}$=$\frac{3}{x}-x+2$，
則g′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1＜0恒成立，
∵θ∈R，
∴-1≤sinθ≤1，1≤2+sinθ≤3…..（5分）
∴g（x）在[1，3]上是單調減函數…..（9分），
∴當g（2+sinθ）_min=g（3）=0…..（10分）
∴m²-m≤0，
∴0≤m≤1…（12分）

點評 本題主要考查函數解析式的求解，以及不等式恒成立問題，利用參數分離法結合函數的最值問題是解決本題的關鍵．