Question

17．已知圓C的圓心C為（-3，4），且圓C與y軸相交于A、B兩點，$|AB|=2\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若關(guān)于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C上，且直線MN與圓D：x²+y²=2相切，試求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）過圓心C（-3，4），求出k，直線y=k（x-1）過圓心C（-3，4），設(shè)直線MN的方程為y=x+b，利用直線MN與圓x²+y²=2相切，求出b，即可求直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r，
因為圓C的圓心C為（-3，4），則C到y(tǒng)軸的距離d=3
所以${r^2}={（\frac{|AB|}{2}）^2}+{d^2}=7+9=16$，r=4
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+（y-4）²=16…（5分）
（Ⅱ）因為關(guān)于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N均在圓C上
所以直線y=k（x-1）過圓心C（-3，4），
所以k=-1…（8分）
設(shè)直線MN的方程為y=x+b
因為直線MN與圓x²+y²=2相切
故有$\frac{|b|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
解得b=±2，…（12分）
經(jīng)檢驗，直線MN的方程為y=x+2…（14分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．