Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，x＞0
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$f（x），求證：g（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$對x＞0恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的概念求出切線方程；
（Ⅱ）要證不等式成立，只需求出左式的最小值大于右式的最大值即可．利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩式的最值，判斷即可．

解答 解（I）f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，x＞0
∴f'（x）=e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{2x{e}^{x-1}-2{e}^{x-1}}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=2，f'（1）=e，
∴切線方程為y=ex+2-e；
（II）證明：g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$f（x）=xlnx+$\frac{2}{e}$，
∴g'（x）=1+lnx，
由g'（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，g'（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上是遞增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
在x=$\frac{1}{e}$時，g（x）取到最小值g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$
令h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$
則h'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$  由h'（x）＞0得0＜x＜1，由h'（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
在x=1時，h（x）取到最大值h（1）=$\frac{1}{e}$，
∴對任意x＞0，都有g(shù)（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}}$成立．

點評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的概念和利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的最值，利用最值解決恒成立問題．