Question

13．一對(duì)父子參加一個(gè)親子摸獎(jiǎng)游戲，其規(guī)則如下：父親在裝有紅色、白色球各兩個(gè)的甲袋子里隨機(jī)取兩個(gè)球，兒子在裝有紅色、白色、黑色球各一個(gè)的乙袋子里隨機(jī)取一個(gè)球，父子倆取球相互獨(dú)立，兩人各摸球一次合在一起稱(chēng)為一次摸獎(jiǎng)，他們?nèi)〕龅娜齻�(gè)球的顏色情況與他們獲得的積分對(duì)應(yīng)如下表：

所取球的情況	三個(gè)球均為紅色	三個(gè)球均不同色	恰有兩球?yàn)榧t色	其他情況
所獲得的積分	180	90	60	0

（Ⅰ）求一次摸獎(jiǎng)中，所取的三個(gè)球中恰有兩個(gè)是紅球的概率；
（Ⅱ）設(shè)一次摸獎(jiǎng)中，他們所獲得的積分為X，求X的分布列及均值（數(shù)學(xué)期望）E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式求得所取的三個(gè)球中恰有兩個(gè)是紅球的概率．
（Ⅱ）由題意可得X可以取180，90，60，0，再求得X取各個(gè)值得概率，可得X的分布列及均值．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)所取三個(gè)球恰有兩個(gè)是紅球?yàn)槭录嗀，
則事件A包含兩類(lèi)基本事件：父親取出兩個(gè)紅球，兒子取出一個(gè)不是紅球，其概率為$\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{1}{9}$；
父親取出兩球?yàn)橐患t一白，兒子取出一球?yàn)榧t色其概率為$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，
故$P（A）=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各個(gè)值得概率分別為：
$P（X=180）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{1}{18}，P（X=90）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{1}{C_3^1}=\frac{2}{9}$，
P（X=60）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{2}{3}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$  P（X=0）=1-$\frac{1}{18}$-$\frac{2}{9}$-$\frac{1}{3}$ $\frac{7}{18}$，
故X的分布為：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

X的均值為 $E（X）=180×\frac{1}{18}+90×\frac{2}{9}+60×\frac{1}{3}+0×\frac{7}{18}=50$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列和均值，屬于中檔題．