Question

已知點(diǎn)A（1，1），B（2，2），C（4，0），D（

12

5

，

16

5

），點(diǎn)P在線段CD垂直平分線上，求：
（1）線段CD垂直平分線方程；
（2）|PA|²+|PB|²取得最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式,二次函數(shù)的性質(zhì),直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到CD所在直線的斜率，得到垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式得直線方程；
（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由兩點(diǎn)間的距離公式列式，利用二次函數(shù)求最值，并得到對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由C（4，0），D（

12

5

，

16

5

），
得線段CD的中點(diǎn)M(

16

5

，

8

5

)，kCD=

16 5 -0

12 5 -4

=-2，
∴線段CD的垂直平分線的斜率為

1

2

，
∴線段CD垂直平分線方程為：y-

8

5

=

1

2

(x-

16

5

)，即x-2y=0；
（2）設(shè)P（2t，t），
則）|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-18t+10．
當(dāng)t=

9

10

時，|PA|²+|PB|²取得最小值，即P(

9

5

，

9

10

)．

點(diǎn)評：本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了直線方程的求法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)求最值，是中低檔題．