19．已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB上的點，且$\frac{BD}{DC}$=$\frac{CE}{EA}$=$\frac{AF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，又設(shè)BE與CF交于L，CF與AD交于M，AD與BE交于N，則$\frac{{S}_{△LMN}}{{S}_{△ABC}}$等于$\frac{1}{7}$．

分析 連結(jié)DE，推導(dǎo)出$\frac{MD}{MA}=\frac{1}{6}$，同理，$\frac{NE}{NB}=\frac{1}{6}$，由此能求出$\frac{{S}_{△LMN}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：連結(jié)DE，有S△BCE=$\frac{2}{9}$S△ABC，${S}_{△BDE}=\frac{1}{9}{S}_{△ABC}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{6}{9}{S}_{△ABC}$，∴$\frac{MD}{MA}=\frac{1}{6}$，
同理，$\frac{NE}{NB}=\frac{1}{6}$，
設(shè)S△BMD=1，則S△ABC=21，S△BMA=6，S△ABD=7，S△BEC=7，
∴S△AME=21-7-7+1=8，
∴$\frac{BM}{ME}=\frac{3}{4}$，∴MN=MB，LM=3MD，
∴$\frac{{S}_{△LMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{7}$．
故答案為：$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查兩個三角形面積比的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形面積公式的合理運用．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，則點P到BD的距離為$\frac{13}{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．如圖，圓錐的軸截面PAB是等腰直角三角形，AB的中點為O，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，D為線段OC的中點，E為母線PA上一點，且AE=3EP．
（1）證明：ED∥平面PCB；
（2）設(shè)二面角A-OP-C的大小為θ，二面角A-PC-B的大小為φ，求證$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$為定值，并求出此定值．

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7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，點D是PB的中點，點E是PC上的一點，
（1）當(dāng)DE∥BC時，求證：直線PB⊥平面ADE；
（2）當(dāng)DE⊥PC時，求證：直線PC⊥平面ADE；
（3）當(dāng)AB=BC時，求二面角A-PC-B的大�。�

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14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=$\frac{π}{2}$，E、F依次為CC1和BC的中點：
（1）異面直線A1B與EF所成角的大小；
（2）點B到平面AEF的距離．

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4．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2．
（1）證明：PD⊥BO；
（2）若過點C與平面PAB平行的平面交PD于點E，求PE長．

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11．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓．
命題q：實數(shù)m滿足m2-4am+3a2＜0，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1且p∧q為真命題時，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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8．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，E是CC1的中點，且A1B⊥A1D．
（1）證明：平面A1BD⊥平面BDE；
（2）求直線A1D與直線BE所成角的余弦值．

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6．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且$C{D_1}=\sqrt{3}$，M是線段AB的中點．
（1）求證：BC⊥AD1；
（2）設(shè)N是線段AC上的一個動點，問當(dāng)$\frac{CN}{AC}$的值為多少時，可使得D1N與平面C1D1M所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$，并證明你的結(jié)論．

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