Question

6．如圖所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且$C{D_1}=\sqrt{3}$，M是線段AB的中點．
（1）求證：BC⊥AD₁；
（2）設N是線段AC上的一個動點，問當$\frac{CN}{AC}$的值為多少時，可使得D₁N與平面C₁D₁M所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導出AC⊥BC，BC⊥CD₁，從而BC⊥面ACD₁，由此能證明BC⊥AD₁．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$時，使得D₁N與平面C₁D₁M所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$．

解答 證明：（1）連接AC，在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，
∵BC²+AC²=AB²，∴AC⊥BC，
又∵CD₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴BC⊥CD₁，
又AC∩CD₁=C，AC?面ACD₁，CD₁?面ACD₁，
∴BC⊥面ACD₁，
∵AD₁?面ACD₁，∴BC⊥AD₁．
解：（2）當$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$時，使得D₁N與平面C₁D₁M所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$．
證明如下：
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CD₁為z軸，建立空間直角坐標系．
C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0$），D₁（0，0，$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{D{D}_{1}}$，得C₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
設N（a，0，0），（0＜a＜$\sqrt{3}$），
設面的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{C}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{{C}_{1}M}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{z=x}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（a，0，-$\sqrt{3}$），
由題意|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}N}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|a-\sqrt{3}|}{\sqrt{{a}^{2}+3}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，]
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或a=2$\sqrt{3}$（舍），
∴當$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{2}$時，使得D₁N與平面C₁D₁M所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．