Question

7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PC上的一點(diǎn)，
（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，求證：直線PB⊥平面ADE；
（2）當(dāng)DE⊥PC時(shí)，求證：直線PC⊥平面ADE；
（3）當(dāng)AB=BC時(shí)，求二面角A-PC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明AP⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，DE⊥PB，即可證明PB⊥平面ADE．
（2）證明BC⊥AD，AD⊥PC，結(jié)合DE⊥PC，即可證明PC⊥平面ADE．
（3）說(shuō)明∠AED是二面角A-PC-B的平面角，設(shè)AP=a，則AB=BC=a，在Rt△ADE中，可求得∠AED=60°，得到二面角A-PC-B的大小．

解答 （1）證：∵AP=AB，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，∴AD⊥PB，
∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AP⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
∵DE∥BC，∴DE⊥PB，∴PB⊥平面ADE．  （4′）
（2）證：∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，
又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，
∴AD⊥PC，
又DE⊥PC，∴PC⊥平面ADE．   （7′）
（3）解：由（2）可知，當(dāng)DE⊥PC時(shí)，PC⊥平面ADE，
∴∠AED是二面角A-PC-B的平面角．     （8′）
設(shè)AP=a，則AB=BC=a，$AC=\sqrt{2}a$，$PC=\sqrt{3}a$，（9′）
∵AD⊥平面PBC，DE?平面PBC，∴AD⊥DE，
在Rt△ADE中，可求得，$AD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，$AE=\frac{AP•AC}{PC}=\frac{{a•\sqrt{2}a}}{{\sqrt{3}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}a$，（10′）
∴$sinAED=\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠AED=60°，
∴二面角A-PC-B的大小為60⁰．       （12′）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．