Question

6．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，P為AB的中點，Q為CD₁的中點．
（1）求證：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求證：PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）若E為CC₁的中點，能否在CP上找一點F，使得EF∥面DPQ？并給出證明過程．

Answer 1

分析 （1）連結BD，推導出DP⊥AB，AA₁⊥DP，由此能證明DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD中點M，推導出平面ADD₁∥平面MPQ，由此能證明PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）連結EB，推導出BE∥PQ，過B作BF∥AD，交PC于F，能推導出EF∥面DPQ．

解答 證明：（1）連結BD
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴AP=AB=BD，
∵P為AB的中點，∴DP⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABCD，DP?平面ABCD，
∴AA₁⊥DP，
∵AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD中點M，連結PM、QM，
∵P為AB的中點，Q為CD₁的中點，
∴PM∥AD，QM∥DD₁，
∵AD∩DD₁=D，PM∩QM=M，
AD、DD₁?平面ADD₁，PM、QM?平面PQF，
∴平面ADD₁∥平面MPQ，
∵PQ?平面PQF，∴PQ∥平面ADD₁A₁．
解：（3）連結EB，
∵Q為CD₁的中點，E是CC₁的中點，P為AB中點，∴QE$\underset{∥}{=}$PB，
∴四邊形PBEQ是平行四邊形，∴BE∥PQ，
過B作BF∥AD，交PC于F，
∵BE∥PQ，BF∥AD，BE∩BF=B，PQ∩PD=P，
BE、BF?平面BEF，PQ、PD?平面PDQ，
∴平面BEF∥平面PDQ，
∵EF?平面BEF，∴EF∥面DPQ．

點評 本題考查線面垂直和線面平行的證明，考查滿足線面平行的點的確定與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．