Question

2．函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$是（　�。�

• A． 奇函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)
• B． 奇函數(shù)，在（0，+∞）是減函數(shù)
• C． 偶函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)
• D． 偶函數(shù)，在（0，+∞）是減函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{2}$=f（x），
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$（2${\;}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{1}{2}$[（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$]=$\frac{1}{2}$[（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）•（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{1}{2}$•（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$＜0，2${\;}^{{x}_{1}}$•2${\;}^{{x}_{2}}$＞1，即2${\;}^{{x}_{1}}$•2${\;}^{{x}_{2}}$-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．