Question

18．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx-sinxcosx
（1）若x∈[0，π]，sinx，cosx是方程x²-2ax-3a=0（a≠0）的兩實(shí)根，求sinx-cosx的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）x∈[0，π]時(shí)sinx≥0，-1≤cosx≤1；求出方程x²-2ax-3a=0（a≠0）的兩實(shí)根，討論a的值，從而求出sinx、cosx，求差即可；
（2）用換元法，設(shè)t=sinx+cosx，求出x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)t的取值范圍，把函數(shù)f（x）化為關(guān)于t的二次函數(shù)，從而求出f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵x∈[0，π]，∴sinx≥0，
-1≤cosx≤1；
又方程x²-2ax-3a=0（a≠0）的兩實(shí)根為-a和3a，
當(dāng)a＞0時(shí)，sinx=3a，cosx=-a，
∴sinx-cosx=3a-（-a）=4a；
當(dāng)a＜0時(shí)，sinx=-a，cosx=3a，
sinx-cosx=-a-3a=-4a；
（2）∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx-sinxcosx，
設(shè)t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
則x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
函數(shù)f（x）=sinx+cosx-sinxcosx可化為：
g（t）=t-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴g（t）_max=g（1）=1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]上的最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查了同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角的正弦，二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，突出考查了換元法與配方法，是中檔題．