Question

7．設(shè)1的立方虛根ω=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，?=$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（1）試求ω¹，ω²，ω³，ω⁴，ω⁵，ω⁶，由此推斷ωⁿ（n∈N^*）規(guī)律，并把這個規(guī)律用式子表示出來．
（2）在等比數(shù)列{ω_n}中，若ω₁=1，ω₂=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，根據(jù)（1）的規(guī)律計算：ω₁+ω₂+…+ω₁₂的值；
（3）已知n∈N^*，f（n）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ+（$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ，試化解集合A={f（n）}．

Answer 1

分析 （1）分別計算并找到相應(yīng)的規(guī)律即可，
（2）先求公比q，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求出答案，
（3）由（1）分類討論即可得到答案．

解答 解：（1）ω=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i時，
ω¹=ω=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω²=（$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω³=1，ω⁴=ω³•ω=ω=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω⁵=ω³•ω²=ω²=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω⁶=ω³•ω³=ω=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
ωⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i，n=3k+1}\\{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i，n=3k+2}\\{1，n=3k}\end{array}\right.$，k∈N^*，
當(dāng)ω=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i時，
ω¹=ω=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω²=（$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω³=1，ω⁴=ω³•ω=ω=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω⁵=ω³•ω²=ω²=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω⁶=ω³•ω³=1，
ωⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i，n=3k+1}\\{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i，n=3k+2}\\{1，n=3k}\end{array}\right.$，k∈N^*，
（2）∵等比數(shù)列{ω_n}中，ω₁=1，ω₂=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴q=$\frac{{ω}_{2}}{{ω}_{1}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴ω₁+ω₂+…+ω₁₂=$\frac{1-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{12}}{1-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$\frac{1-1}{1-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=0，
（3）∵f（n）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ+（$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$i）ⁿ，
當(dāng)n=3k+1時，f（3k+1）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i$-\frac{1}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-1，
當(dāng)n=3k+2時，f（3k+2）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-1，
當(dāng)n=3k時，f（3k）=1+1=2，
∴A={-1，2}．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，規(guī)律探索，數(shù)列的求和公式，集合的概念，屬于中檔題．