Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在x₀＞1，滿足f（x₀）-k（x₀-1）＜0，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=e代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切線斜率為3列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，研究g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$區(qū)間（1，+∞）上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，研究極值點(diǎn)左右的單調(diào)性，最后確定出最小值，從而得出k的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax+xlnx，
所以f′（x）=a+lnx+1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e處的切線斜率為3，
所以f′（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，
則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g（x）]min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{x}_{0}ln{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1+{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，是一道難題．