Question

13．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2^a_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=2^a_n+a_n=2²ⁿ+2n=4ⁿ+2n，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2+d）^{2}=2（2+3d）}\\{d＞0}\end{array}\right.$，解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n．
（2）∵a_n=2n，∴b_n=2^a_n+a_n=2²ⁿ+2n=4ⁿ+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=（4+4²+4³+…+4ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）+{n}^{2}+n$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運用．