Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x²+16x-5-sinπx，{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，若$\sum_{i=1}^{10}$f（a_i）=110，則$\sum_{i=1}^{10}$a_i=（　�。�

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=（x-2）³+4x+3-sinπ（x-2）=（x-2）³+4（x-2）-sinπ（x-2）+11，可得f（x）-11的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱，結(jié)合$\sum_{i=1}^{10}$f（a_i）=110，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（x-2）³+4x+3-sinπ（x-2）=（x-2）³+4（x-2）-sinπ（x-2）+11，
∴f（x+2）-11=x³+4x-sinπx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故f（x）的圖象關(guān)于（2，11）對(duì)稱，
∴f（x）-11的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱，
∵$\sum_{i=1}^{10}$f（a_i）=110，
∴$\sum_{i=1}^{10}$f（a_i）-11=0，
故$\sum_{i=1}^{10}$a_i=20，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列求和，函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)已知分析出f（x）-11的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱，是解答的關(guān)鍵．