Question

16．如圖，在四面體A-BCD中，AC與BD互相垂直，且長(zhǎng)度分別為2和3，平行于這兩條棱的平面與邊AB、BC、CD、DA分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，記四邊形EFGH的面積為y，設(shè)$\frac{BE}{AB}$=x，則（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1]
• B． 函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2-x）
• C． 函數(shù)y=f（x）的最大值為2
• D． 函數(shù)y=f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形EFGH為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，
∴AC∥EF．AC∥HG，BD∥EH．BD∥FG，
則四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC，BD互相垂直，
∴EH⊥EF，
則四邊形EFGH為矩形，
∵$\frac{BE}{AB}$=x，
∴由$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB-BE}{AB}$=1-$\frac{BE}{AB}$=1-x，
即EH=（1-x）BD=3（1-x），
同理 $\frac{EF}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=x，
則EF=x•AC=2x，
則四邊形EFGH的面積為y=EH•EF=2x•3（1-x）=6（x-x²）=-6（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∵x∈（0，1），
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值$\frac{3}{2}$，故A，C錯(cuò)誤．
函數(shù)y=f（x）=6（x-x²）=-6（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，故D正確．
∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（1-x），故B錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間四邊形和函數(shù)的綜合以及與一元二次函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度，屬于中檔題．