Question

4．設(shè)x₀為函數(shù)f（x）=sinπx的零點(diǎn)，且滿足|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33，則這樣的零點(diǎn)有（　�。�

• A． 61個(gè)
• B． 63個(gè)
• C． 65個(gè)
• D． 67個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，先求出x₀的值，進(jìn)行求出f（x₀+$\frac{1}{2}$）的值，然后解不等式即可．

解答 解：∵x₀為函數(shù)f（x）=sinπx的零點(diǎn)，
∴sinπx₀=0，即πx₀=kπ，k∈Z，
則x₀=k，則f（x₀+$\frac{1}{2}$）=sin（x₀+$\frac{1}{2}$）π=sin（πx₀+$\frac{π}{2}$）=cosπx₀，
若k是偶數(shù)，則f（x₀+$\frac{1}{2}$）=1，
若k是奇數(shù)，則f（x₀+$\frac{1}{2}$）=-1，
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33得|x₀|＜-f（x₀+$\frac{1}{2}$）+33，
即|k|＜-1+33=32，
則k=-30，-28，…28，30，共31個(gè)，
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，則由|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33得|x₀|＜-f（x₀+$\frac{1}{2}$）+33，
即|k|＜1+33=34，
則k=-33，-31，…31，33，共34個(gè)，
故共有31+34=65個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，利用分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．