Question

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+2x-1，x＜a}\end{array}\right.$對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）-b至多有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 由y=f（x）-b=0得f（x）=b，根據(jù)函數(shù)y=f（x）-b至多有一個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）與y=b至多有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）在定義域上為單調(diào)函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由y=f（x）-b=0得f（x）=b，
∵y=f（x）-b至多有一個(gè)零點(diǎn)，
∴等價(jià)為f（x）=b至多有一個(gè)根，
即函數(shù)f（x）與y=b至多有一個(gè)交點(diǎn)，
在函數(shù)f（x）在定義域上為單調(diào)函數(shù)，
函數(shù)f（x）=x²+2x-1的對(duì)稱軸為x=-1，
f（x）=-x²+2x-1的對(duì)稱軸為x=1，
則由圖象可知-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．