Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5bx$，若a，b是從集合{1，2，3，4}中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的概率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)數(shù)值為0得到使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的充要條件是a²≥5b，由此利用列舉法能求出使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的概率．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5bx$，
∴f′（x）=x²+2ax+5b，
由f′（x）=x²+2ax+5b=0有解，得△=4a²-20b≥0，
∴使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的充要條件是a²≥5b，
∵a，b是從集合{1，2，3，4}中任取兩個(gè)不同的數(shù)，
∴基本事件總數(shù)為4×3=12，
滿足a²≥5b的有：（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），共4種，
∴使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的概率為p=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、列舉法的合理運(yùn)用．