Question

3．已知曲線C是與兩個定點A（1，0），B（4，0）的距離比為$\frac{1}{2}$的動點的軌跡
（1）求曲線C的方程；
（2）求曲線C上的動點到直線l：x-y+3=0的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)此曲線上的任意一點P（x，y），則|AP|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，|BP|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，代入化簡即可；
（2）由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）設(shè)此曲線上的任意一點P（x，y），則|AP|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，|BP|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，
由題意可得，$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，
則$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，整理得x²+y²=4，
∴所求曲線C的方程為x²+y²=4；
（2）如圖，

圓心O到直線x-y+3=0的距離|OA|=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴曲線C上的動點到直線l：x-y+3=0的距離的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}+2$．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．