Question

12．如圖，正方體的棱長為a，P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點
（1）求證：PQ∥平面D₁C₁CD
（2）求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）連結AD₁，AB₁，由三角形中位線定理和正方體結構特征推導出PQ∥DC₁，由此能證明PQ∥平面D₁C₁CD．
（2）P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點，利用三角形中位線定理能求出PQ的長．

解答 （1）證明：連結AD₁，AB₁，
∵正方體的棱長為a，P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點，
∴P，Q分別是AD₁，D₁B的中點，
∴PQ∥AB₁，∵AB₁∥DC₁，∴PQ∥DC₁，
∵PQ?平面D₁C₁CD，DC₁?平面D₁C₁CD，
∴PQ∥平面D₁C₁CD．
（2）解：∵P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AB₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線段長的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．