Question

12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點(diǎn)
（1）求證：PQ∥平面D₁C₁CD
（2）求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD₁，AB₁，由三角形中位線定理和正方體結(jié)構(gòu)特征推導(dǎo)出PQ∥DC₁，由此能證明PQ∥平面D₁C₁CD．
（2）P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理能求出PQ的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連結(jié)AD₁，AB₁，
∵正方體的棱長(zhǎng)為a，P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點(diǎn)，
∴P，Q分別是AD₁，D₁B的中點(diǎn)，
∴PQ∥AB₁，∵AB₁∥DC₁，∴PQ∥DC₁，
∵PQ?平面D₁C₁CD，DC₁?平面D₁C₁CD，
∴PQ∥平面D₁C₁CD．
（2）解：∵P、Q分別為A₁D、B₁D₁的中點(diǎn)，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AB₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．