Question

15．如圖，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是梯形，BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，BE∥AF，BE=$\frac{1}{2}$AF，H是FD的中點(diǎn)．
（1）證明：CH∥平面ABEF；
（2）判斷C、D、E、F四點(diǎn)是否共面，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取FA中點(diǎn)G，連HG，BG，由已知得四邊形BCHG是平行四邊形，由此能證明CH∥平面ABEF．
（Ⅱ）由已知推導(dǎo)出EF∥BG，EF∥CH，由此結(jié)合已知條件能證明C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．

解答 （Ⅰ）證明：取FA中點(diǎn)G，連HG，BG，
∵FG=GA，F(xiàn)H=HD∴GH$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AD$
又BC$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AD$，故GH$\underline{\underline{∥}}$BC
∴四邊形BCHG是平行四邊形．∴CH∥BG
又BG?平面ABEF，CH?平面ABEF，
∴CH∥平面ABEF，（6分）
（Ⅱ）解：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：（8分）
由BE$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AF$，G是FA的中點(diǎn)知，BE$\underline{\underline{∥}}$GF，∴EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，∴EF∥CH，
故EC，F(xiàn)H共面．又點(diǎn)D在直線(xiàn)FH上
∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查四點(diǎn)共面的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．