Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（A，$\frac{1}{2}$），若b+c=2a，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（A，$\frac{1}{2}$）和三角形的角的范圍可得A=$\frac{π}{3}$，由已知條件和數(shù)量積以及余弦定理可得a的方程，解方程可得a值．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
=2cos²x-1+sin（2x-$\frac{π}{6}$）=cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（A，$\frac{1}{2}$），
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，故2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$；
∵b+c=2a，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=6，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$bc=6，解得bc=12，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴a²=（2a）²-36，解得a=2$\sqrt{3}$

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及向量的數(shù)量積和余弦定理解三角形，屬中檔題．