Question

19．與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x的垂直的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{m}$=（9，-$\frac{1}{3}$）平行，則雙曲線C的離心率等于 （　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{14}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，兩式相減，再由直線的斜率公式和向量共線的坐標(biāo)表示，可得a=3b，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入雙曲線的方程可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$，
由題意可得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{a}$，
又向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{m}$=（9，-$\frac{1}{3}$）平行，可得
（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（9，-$\frac{1}{3}$），
可得$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{27}$，
即有$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{a}$•（-$\frac{1}{27}$），
化簡(jiǎn)可得a=3b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和直線的斜率公式以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．