Question

14．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足acosB=$\sqrt{3}$bsinA．
（1）求角B的大��；
（2）當(dāng)sinC-sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理化簡acosB=$\sqrt{3}$bsinA，由特殊角的三角函數(shù)值和內(nèi)角的范圍求出B的值；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理求出A、C的關(guān)系式，以及角A的范圍，代入已知的式子利用兩角差的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)角A的范圍求出A，即可求出C、b、c的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）由題意得，acosB=$\sqrt{3}$bsinA，
則由正弦定理得，sinAcosB=$\sqrt{3}$sinBsinA，
因?yàn)?＜A＜π，則sinA≠0，
所以cosB=$\sqrt{3}$sinB，則tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）得，C=π-A-B=$\frac{5π}{6}-A$，則0＜A＜$\frac{5π}{6}$，
代入sinC-sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化簡得，sin（$\frac{5π}{6}-A$）-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin（$A-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜A＜$\frac{5π}{6}$得$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，則$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
所以A=$\frac{π}{2}$，則C=$\frac{π}{3}$，
在RT△ABC中，由a=$\sqrt{3}$得c=$\frac{3}{2}$、b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，兩角差的正弦公式、誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、計(jì)算能力．