Question

已知定義在[0，1]上的函數(shù)滿足：①f（0）=f（1）=0，②對(duì)于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．若當(dāng)所有的x，y∈[0，1]時(shí)，|f（x）-f（y）|＜k，則k的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=

mx m-mx

(0＜m＜

1

2

)，分四種情況討論，可證得對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

恒成立，從而可得k≥

1

4

，繼而可得答案．

解答： 解：依題意，定義在[0，1]上的函數(shù)y=f（x）的斜率|m|＜

1

2

，
依題意，m＞0，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

mx m-mx

(0＜m＜

1

2

)，滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）-f（y）|＜

1

2

|x-y|．
當(dāng)x∈[0，

1

2

]，且y∈[0，

1

2

]時(shí)，|f（x）-f（y）|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|

1

2

-0|=k×

1

2

＜

1

4

，
當(dāng)x∈[0，

1

2

]，且y∈[

1

2

，1]時(shí)，|f（x）-f（y）|=|kx-（k-ky）|=|k（x+y）-k|≤|k（1+

1

2

）-k|=k×

1

2

＜

1

4

，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]，且y∈[0，

1

2

]時(shí)，同理可得，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]，且y∈[

1

2

，1]時(shí)，|f（x）-f（y）|=|（k-kx）-（k-ky）|=k|x-y|≤k×（1-

1

2

）=

k

2

＜

1

4

．
綜上所述，對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜

1

4

，
∵對(duì)所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|＜k恒成立，
∴k≥

1

4

，
即k的最小值為

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查分析、推理及運(yùn)算能力，屬于難題．