Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角是120°．
（1）求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值及|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的值；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$？

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）由于$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$•$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=0，展開即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$cos120°=$4×8×（-\frac{1}{2}）$=-16．
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}+2×（-16）}$=4$\sqrt{3}$．
（2）∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$，∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$•$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow}^{2}$+$（2k-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，
化為k=-7．
∴當(dāng)k=-7值時(shí)，$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．