Question

13．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃=2，a₉=2a₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{2n{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出方程組$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$求解得出a₁，d．運(yùn)用通項(xiàng)公式求解即可．
（2）把b_n裂項(xiàng)得出${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$，出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)，即可求解和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d．
因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{a_3}=2\\{a_9}=2{a_4}\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\{a_1}-2d=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
所以通項(xiàng)公式為：${a_n}={a_1}+（n-1）d=\frac{n+1}{2}$．
（Ⅱ）因?yàn)?{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}$，
所以${S_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了等差數(shù)列的常規(guī)題型知三求二，裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，屬于中檔題，計(jì)算準(zhǔn)確即可．