Question

16．已知函數(shù)f（x）=（a-x）e^x+1，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）只有一個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）通過討論①當(dāng)x＜a-1時，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，②當(dāng)x＞a-1時，在區(qū)間（a-1，a+1）上函數(shù)f（x）有一個零點(diǎn)；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-e^x+（a-x）e^x=e^x（-x+a-1）．（2分）
令f′（x）=e^x（-x+a-1）=0，解得x=a-1．（4分）
因?yàn)閤∈（-∞，a-1）時，f′（x）＞0，x∈（a-1，+∞）時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，a-1），減區(qū)間是（a-1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（a-1）是極大值，也是最大值．
且f（a-1）=e^a-1+1＞0．（8分）
①當(dāng)x＜a-1時，因?yàn)閍-x＞0，e^x＞0，
所以f（x）在（-∞，a-1）上恒為正數(shù)，函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；（10分）
②當(dāng)x＞a-1時，取x=a+1，則f（a+1）=-e^a+1+1，
因?yàn)閍＞0，所以e^a+1＞e，-e^a+1＜-e，
從而f（a+1）=-e^a+1+1＜0．（11分）
由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間（a-1，a+1）上函數(shù)f（x）有一個零點(diǎn)；（12分）
因?yàn)椋╝-1，+∞）是f（x）的減區(qū)間，所以f（x）零點(diǎn)只有一個．（13分）
綜上，函數(shù)f（x）零點(diǎn)只有一個．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．