Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=8$\sqrt{6}$x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線x=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓M，若圓M與y軸相切，求直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓M所截得的弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線${y}^{2}=8\sqrt{6}x$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$2\sqrt{6}，0$），得到c=$2\sqrt{6}$，又離心率已知，故得橢圓方程．
（Ⅱ）由題意知M，圓心M為線段AB中點(diǎn)，且位于x軸的正半軸，故設(shè)M的坐標(biāo)為（t，0），再利用圓心到直線得距離和半徑以及弦長的一半構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�${y}^{2}=8\sqrt{6}x$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$2\sqrt{6}，0$），所以c=$2\sqrt{6}$，…（2分）
又橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以a=6，b²=a²-c²=12
所以橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由題意知M，圓心M為線段AB中點(diǎn)，且位于x軸的正半軸，故設(shè)M的坐標(biāo)為（t，0）
因?yàn)閳AM與y軸相切，不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，又MA=MB=t，所以B（t，t）
∴$\frac{{t}^{2}}{36}+\frac{{t}^{2}}{12}=1（t＞0）$    解得t=3，…（8分）
∴圓心M（3，0），半徑r=3
∴圓M的方程為：（x-3）²+y²=9；…（10分）
又圓心M到直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的距離$d=\frac{|3-0+1|}{2}=2$
所以，直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓M所截得的弦長為：
$2\sqrt{{r}^{2}-oow4iqo^{2}}=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}$． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線（包括圓）的綜合應(yīng)用，屬于中檔題型，在高考文科中常有涉及．