Question

5．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過點(diǎn)P（2，1）．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P作直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x²=2py，把點(diǎn)P（2，1）代入可得 p 值，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2 符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，先設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得出△=0，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為  x²=2py，把點(diǎn)P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．
（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2 符合題意
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y-1=k（x-2）即y=kx-2k+1
聯(lián)立方程可得，$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}=4y\\ y=kx-2k+1\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-4kx+8k-4=0，
∵直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)
∴△=16k²-32k+16=0
∴k=1
綜上可得，x-y-1=0，x=2，

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．