Question

19．在三棱柱P-ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=$\sqrt{26}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=m（m＞0）
（Ⅰ）當(dāng)m為何值時(shí)，點(diǎn)A到平面PBC的距離最大，并求出最大值；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)A到平面PBC的距離取得最大值時(shí)，求二面角A-PB-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，過A作AE⊥PD于點(diǎn)E．通過線面垂直定理易得AE即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，利用基本不等式計(jì)算即可；
（Ⅱ）當(dāng)m=3時(shí)，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，所求二面角的余弦值即為平面PBA的一個(gè)法向量與平面PBC的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，過A作AE⊥PD于點(diǎn)E．
∵PB=PC=$\sqrt{26}$，PA⊥底面ABC，∴PD為△PBC中BC邊上的高，
∴△ABC為等腰三角形，從而AD為△ABC中BC邊上的高，
易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，
∴AE即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，
∵PB=PC=$\sqrt{26}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=m（m＞0），
∴CD=$\frac{1}{2}BC$=$2\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$3\sqrt{2}$，
AD=$\sqrt{P{D}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{18-{m}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}PA•AD=\frac{1}{2}PD•AE$，
∴$AE=\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{m\sqrt{18-{m}^{2}}}{3\sqrt{2}}$≤$\frac{1}{3\sqrt{2}}•\frac{1}{2}[{m}^{2}+（18-{m}^{2}）]$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=18-m²，即m=3時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)A到平面PBC的距離最大，最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)A到平面PBC的距離取得最大值，即m=3時(shí)，
有PA=3，AD=$\sqrt{18-9}$=3，AB=AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（0，$\sqrt{17}$，0），P（0，0，3），
根據(jù)三角形面積的不同表示形式，易得得B（$\frac{12\sqrt{34}}{17}$，$\frac{\sqrt{17}}{17}$，0），
從而$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{12\sqrt{34}}{17}$，$\frac{\sqrt{17}}{17}$，-3），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{17}$，3），
設(shè)平面PBA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{z}_{1}=0}\\{\frac{12\sqrt{34}}{17}{x}_{1}+\frac{\sqrt{17}}{17}{y}_{1}-3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{17}{y}_{2}+3{z}_{2}=0}\\{\frac{12\sqrt{34}}{17}{x}_{2}+\frac{\sqrt{17}}{17}{y}_{2}-3{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取${y}_{1}=\sqrt{2}$，x₂=1，可得平面PBA的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（$-\frac{1}{12}$，$\sqrt{2}$，0），平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{34}}{4}$），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{1}{12}×1+\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}+0}{\sqrt{\frac{1}{144}+2}•\sqrt{1+\frac{9}{8}+\frac{17}{8}}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∴二面角A-PB-C的大小的余弦值為$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角，空間中點(diǎn)與面的位置關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．