Question

11．已知冪函數(shù)g（x）=（m²-3）x^m（m∈R）在（0，+∞）為減函數(shù)，且對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）滿足f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若實(shí)數(shù)a滿足f（2a-1）＜f（5-a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3=1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)，且f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$，利用m的值求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，把f（2a-1）＜f（5-a）轉(zhuǎn)化，求出解集即可．

解答 解：（1）冪函數(shù)g（x）=（m²-3）x^m（m∈R）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-3=1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，
解得m=-2，
∴g（x）=x²；
又∵f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)，且f（-m+1）+f（-m-1）=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
∴l(xiāng)og_a（-m+1）+log_a（-m-1）=$\frac{1}{2}$，
即log_a（m²-1）=log_a3=$\frac{1}{2}$，
解得a=9，
∴f（x）=log₉x；
（2）∵實(shí)數(shù)a滿足f（2a-1）＜f（5-a），
且f（x）=log₉x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＞0}\\{5-a＞0}\\{2a-1＜5-a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a＜5}\\{a＜2}\end{array}\right.$；
即$\frac{1}{2}$＜a＜2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．