Question

2．已知2cosθ+sinθ=1，求tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值．

Answer 1

分析 由題意和cos²θ+sin²θ=1，解方程組可得sinθ和cosθ，分類討論由誘導(dǎo)公式或兩角差的正切公式可得．

解答 解：∵2cosθ+sinθ=1，cos²θ+sin²θ=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=0}\\{sinθ=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{4}{5}}\\{sinθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=0}\\{sinθ=1}\end{array}\right.$時，θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=tan（$\frac{π}{4}$-2kπ-$\frac{π}{2}$）
=tan（-$\frac{π}{4}$）=-1；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{4}{5}}\\{sinθ=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$時，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{3}{4}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=7
綜上可得tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值為-1或7

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．