Question

2．△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，當∠A=α時，2sin$\frac{A}{2}$-cos（B+C）取得最大值．
（1）求α的值；
（2）如果∠A的對邊等于2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)可得bc的最大值，再利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）2sin$\frac{A}{2}$-cos（B+C）=cosA+2sin$\frac{A}{2}$=$1-2si{n}^{2}\frac{A}{2}$+2sin$\frac{A}{2}$=-2$（sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
當$sin\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$時，∵A∈（0，π），∴$\frac{A}{2}$∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$=α．
（2）∵${2}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c=2時取等號．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
∴△ABC面積的最大值是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了倍角公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．