Question

11．若A（2，0），B（x，y），C（0，4）三點(diǎn)共線，則$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 三點(diǎn)共線即兩個(gè)向量共線，據(jù)兩向量共線的充要條件求出2x+y-4=0，原點(diǎn)到直線的距離，即可求出答案．

解答 解：∵A（2，0），B（x，y），C（0，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（x-2，y），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4），
∵A（2，0），B（x，y），C（0，4）三點(diǎn)共線，
∴4（x-2）=-2y，
即2x+y-4=0，
則原點(diǎn)到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查兩向量共線的充要條件及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．