分析 $\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$,利用向量坐標運算及其相等可得:cosα+cosβ=1,sinα+sinβ=0,利用cos2β+sin2β=(1-cosα)2+sin2α=1-2cosα+1=1,化為cosα=$\frac{1}{2}$,由于0<α<β<2π,可得α=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$.分類討論即可得出.
解答 解:∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$,
∴(2cosα,2sinα)+2(cosβ,sinβ)=(2,0),
∴2cosα+2cosβ=2,2sinα+2sinβ=0,
分別化為:cosα+cosβ=1,sinα+sinβ=0,
∵cos2β+sin2β=(1-cosα)2+sin2α=1-2cosα+1=1,
化為cosα=$\frac{1}{2}$,
∵0<α<β<2π,
∴α=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$.
∵sinα+sinβ=0,
∴當α=$\frac{π}{3}$時,β=$\frac{4π}{3}$或$\frac{5π}{3}$.
當α=$\frac{π}{3}$,β=$\frac{4π}{3}$,不滿足cosα+cosβ=1,舍去;
當α=$\frac{π}{3}$,β=$\frac{5π}{3}$,滿足cosα+cosβ=1,此時α+β=2π.
當α=$\frac{5π}{3}$時,又0<α<β<2π,不滿足sinα+sinβ=0,舍去.
綜上可得:β+α=2π.
點評 本題考查了向量坐標運算及其相等、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 3 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 4 | C. | $\frac{16}{3}$ | D. | $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -$\sqrt{3}$ | B. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{15}}{3}$πm3 | B. | $\frac{32\sqrt{35}}{27}$πm3 | C. | $\frac{32\sqrt{35}}{81}$πm3 | D. | $\frac{128\sqrt{2}}{81}$πm3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 4 | D. | 6 |
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