Question

1．求下列函數(shù)的最值：
（1）f（x）=sin2x-x（-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$）；
（2）f（x）=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得f（x）的極值點(diǎn)和極值，以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較即可得到所求最值；
（2）可設(shè)x=cosα（0≤α≤π），可得y=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），由α的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求最值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2cos2x-1，
由cos2x=$\frac{1}{2}$，可得在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的解為±$\frac{π}{6}$，
由f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$，
f（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$．
可得f（x）的最小值為-$\frac{π}{2}$，最大值為$\frac{π}{2}$；
（2）由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，
可設(shè)x=cosα（0≤α≤π），
可得y=cosα+$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$
=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由0≤α≤π，可得$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
當(dāng)α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1；
當(dāng)α+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即α=π時(shí)，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即有函數(shù)y的最小值為-1，最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得極值；運(yùn)用三角換元法，兩角和差公式及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．