Question

7．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足$a=\sqrt{3}，b=1$，且（a+b）（sinA-sinB）=（c+b）sinC，若三棱錐O-ABC的體積為$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，則球O的表面積為64π．

Answer 1

分析 求出三角形的面積，利用體積求出O到平面ABC的距離，求出△ABC外接圓的半徑，可得球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵（a+b）（sinA-sinB）=（c+b）sinC，
∴（a+b）（a-b）=（c+b）c，
∵$a=\sqrt{3}，b=1$，
∴c=1，
∴cosC=$\frac{1+1-3}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)O到平面ABC的距離為h，△ABC外接圓的半徑為r，則
∵三棱錐O-ABC的體積為$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×h$=$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$，
∴h=$\sqrt{15}$，
又2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
∴球的半徑為$\sqrt{15+1}$=4，
∴球O的表面積為4π×4²=64π．
故答案為：64π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球O的表面積，考查三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．