Question

3．已知雙曲線Г：4x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=2，若動點P滿足$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{2}$，則直線PF₁的傾斜角θ的取值范圍為（　　）

• A． [0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）
• C． [0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]

Answer 1

分析 將雙曲線的方程化為標準方程，運用離心率公式，可得焦點的坐標為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設P（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理可得P的軌跡方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，解得切線的斜率，進而得到傾斜角的范圍．

解答 解：雙曲線Г：4x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1即為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
由離心率e=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}}{\frac{1}{2}}$=2，解得a²=$\frac{3}{4}$，
即有焦點的坐標為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設P（x，y），由$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{2}$，
可得（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²]，
化簡可得x²+y²-6x+1=0，
即為（x-3）²+y²=8，
P的軌跡為圓心為（3，0），半徑為2$\sqrt{2}$，
設過F₁的切線的方程為y=k（x+1），
由直線和圓相切的條件可得，
d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，解得k=±1，
即有切線的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
可得直線PF₁的傾斜角θ的取值范圍為[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的運用，考查直線和圓的位置關系，運用兩點的距離公式化簡整理求得P的軌跡方程是解題的關鍵，屬于中檔題．