Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x（-x²+b）．
（1）若函數(shù)f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）的單凋區(qū)間與極值點．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，可得函數(shù)f（x）的表達式；
（2）由f′（x）＜0，f′（x）＞0解出可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減、增區(qū)間，即可求出極值點．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f（x）=e^x（-x²+3）．
（2）f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化為（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間是（-3，1）
∴極值點為-3，1．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．