Question

14．已知點(diǎn)P為拋物線y²=2x上一點(diǎn)，A（2，1）為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)P的坐標(biāo)為P（m，n），得到$\overrightarrow{AP}$=（m-2，n-1），$\overrightarrow{AM}$=（x-2，y-1），然后根據(jù)$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而代入拋物線方程即可得答案．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則$\overrightarrow{AP}$=（m-2，n-1），$\overrightarrow{AM}$=（x-2，y-1），
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴m-2=2（x-2），n-1=2（y-1），
∴m=2x-2，n=2y-1，
即點(diǎn)P坐標(biāo)為（2x-2，2y-1）
而點(diǎn)P在拋物線y²=2x上，
因此有（2y-1）²=2（2x-2），
即（y-$\frac{1}{2}$）²=x-1．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（y-$\frac{1}{2}$）²=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查通過向量的有關(guān)運(yùn)算求軌跡方程的問題．對(duì)向量的有關(guān)題型比如：求模、求夾角、求垂直以及平行等的問題一定要強(qiáng)化練習(xí)，是高考的熱點(diǎn)問題．