Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）求f（x）在[-4，-1]上的最大值和最小值，并求出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用奇偶性的定義，即可得到；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論，即可得證；
（3）運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0，且x∈R}，
f（-x）=-x+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)2≤m＜n，則f（m）-f（n）=（m+$\frac{4}{m}$）-（n+$\frac{4}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{4}{mn}$），
由2≤m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，即為1-$\frac{4}{mn}$＞0，
則f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)；
（3）由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$可得f（x）在[-4，-2）遞增，
在（-2，-1）遞減，
可得x=-2處取得最大值，且為-4；
由f（-1）=-5，f（-4）=-5，
可得最小值為-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．