11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=1,2Sn=(n+1)an
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$,求Tn

分析 (Ⅰ)由a1=1,2Sn=(n+1)an,得n≥2時,2Sn-1=nan-1,兩式相減得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$,n≥2,由此利用累乘法和能求出an=n.
(Ⅱ)由$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用裂項求能求出Tn=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$的值.

解答 解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=1,2Sn=(n+1)an,①
∴n≥2時,2Sn-1=nan-1,②
①-②,得2an=(n+1)an-nan-1,n≥2,
整理,得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$,n≥2,
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n,
n=1時,上式成立,
∴an=n.
(Ⅱ)∵$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴Tn=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{(n+1){a}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$.

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意累乘法和裂項求和法的合理運用.

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