Question

1．求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦點(diǎn)且過點(diǎn)（3，$\sqrt{2}$）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）；從而設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，代入點(diǎn)（3，$\sqrt{2}$）即可求得．

解答 解：∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=3，c=2，
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）；
故設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，
∵雙曲線過點(diǎn)（3，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{4-{a}^{2}}$=1，
解得，a²=3，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用．