Question

5．設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，a，b滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（^{2}-8b）≤0}\\{f（b+1）＞f（5）}\end{array}\right.$，那么a²+b²的取值范圍是（　�。�

• A． （17，49]
• B． [9，49]
• C． （17，41]
• D． [9，41]

Answer 1

分析 由f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，可將不等式可化為f（a²-6a+23）≤f（2-b²+8b），利用f（x）的單調(diào)性，可化為關(guān)于m的整式不等式（a-3）²+（b-4）²≤4，分析（a-3）²+（b-4）²≤4的幾何意義，即可求得a²+n² 的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0，
∴f（a²-6a+23）≤-f[（1+（b²-8b-1）]，
∴f（a²-6a+23）≤f[（1-（b²-8b-1）]=f（2-b²+8b），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
∴（a-3）²+（b-4）²≤4（b＞4）
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圓心坐標(biāo)為：（3，4），半徑為2，

∴（m-3）²+（n-4）²=4（b＞4）內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為（$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$，5+2]，即（$\sqrt{17}$，7]，
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
∴m²+n² 的取值范圍是（17，49]．
故選：A

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查不等式的含義，解題的關(guān)鍵是確定半圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍．