Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的焦點在x軸上．
（1）若離心率e=$\frac{4}{5}$，求橢圓的方程；
（2）若右焦點到直線3x-4y-4=0的距離為1，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a²=25＞b²，再由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，求出b²的值得答案；
（2）由點到直線的距離公式求出c值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的焦點在x軸上，得a²=25＞b²，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{16}{25}$，
∴25a²-25b²=16a²，即$^{2}=\frac{9}{25}{a}^{2}=9$．
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）設(shè)橢圓右焦點F（c，0），則由題意，$\frac{|3c-4|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}=1$，
即|3c-4|=5，解得：c=$-\frac{1}{3}$（舍），或c=3．
則b²=a²-c²=25-9=16．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．