Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，過點(diǎn)P（1，1）作一直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|=$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．

Answer 1

分析 由點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得直線AB的斜率，求出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式得答案．

解答 解：由P（1，1）在橢圓內(nèi)，直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
則$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$，
即k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由AB中點(diǎn)為P（1，1），即x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
知AB的斜率為-$\frac{3}{4}$，且過P（1，1），
則直線AB的方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
代入橢圓方程，得21x²-42x+1=0．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{1}{21}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=
$\frac{5}{4}$•$\sqrt{4-\frac{4}{21}}$=$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{105}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)差法，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，屬于中檔題．